<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          9 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Oitava Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadores
          Clia Rosa e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
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          So Paulo -- SP
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                                I
 Sumrio 

 Oitava Parte

 Unidade 12

 Estudando a Circunferncia 
  e o Crculo ::::::::::::: 915 
 55 -- Calculando o 
  comprimento de uma 
  circunferncia ::::::::::: 917 
 Calculando o comprimento de 
  uma circunferncia ::::::: 918 
 56 -- Relaes mtricas na 
  circunferncia ::::::::::: 928 
 Relao entre cordas :::::: 928 
 Relao entre segmentos 
  secantes ::::::::::::::::: 929 
 Relao entre segmentos 
  secante e tangente ::::::: 930 
 57 -- Polgonos regulares 
  inscritos na 
  circunferncia ::::::::::: 936 
 Elementos de um polgono 
  regular inscrito ::::::::: 938  
 Propriedades :::::::::::::: 939  
 Relaes mtricas ::::::::: 943 
 rea de um polgono 
  regular :::::::::::::::::: 954 
 58 -- rea de regies 
  circulares ::::::::::::::: 958 
 Tratando a informao ::::: 974 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 976 

 Projeto: Investigando 
  alturas :::::::::::::::::: 988   
 Indicaes de leitura ::::: 1002
 Glossrio ::::::::::::::::: 1005 

<311> 
<ta c. da mat. 9 ano>
<T+915>
 Unidade 12

<R+>
 Estudando a Circunferncia e o Crculo

 Olhe  sua volta e encontre 
  muitas formas circulares
<R->

  A microscpica
alga forma um
crculo quase
perfeito.

<R+>
 _`[{desenho: Algas_`]
 Legenda: Algas diatomceas vistas por microscpio (ampliadas).
<R->

  O ap  usado como coador ou
para servir alimentos slidos.
  Esses aps foram feitos pelos
indgenas Kayabi, no Par.
  Eles tambm apresentam
formas circulares.

<R+>
 _`[{foto: Cestos de palha em formato de meia-esfera usados tambm como coador_`]

 _`[{foto: Projetor Victor 
  Animatophone 16 mm, de 1949_`]
 Legenda: Rolos de filme e engrenagens tambm apresentam circunferncias.

<312>
 _`[{foto: Astrolbio_`]
 Legenda: Foto de astrolbio islmico do
perodo de 1350-1450.
  Um dos instrumentos cientficos
mais importantes de sua poca, o
astrolbio possibilitava a medida
da latitude e do tempo.  

 _`[{pintura descrita por sua legenda_`]
 Legenda: Monge Medieval  astrnomo primitivo 
avista uma estrela pela barra do astrolbio.
Um ajudante faz leituras em uma
tbua astronmica, e outro registra as
observaes. 

<p>
 _`[{ilustrao: Homem tocando um pandeiro_`]
 Legenda: O crculo tambm combina com Msica.

               ::::::::::::::::::::::::

<313>
 55 -- Calculando o comprimento de uma circunferncia
<R->

 Explorando

  Vamos fazer uma atividade?

  Primeiro, pegue um objeto cilndrico qualquer,
como a latinha de refrigerante.
  Depois, use um barbante para contornar a
lata, como mostra a foto _`[no adaptada_`]. Em seguida, marque
a quantidade de barbante necessria
para esse contorno.
  Por ltimo, pegue o barbante, estique-o e
mea com uma rgua o pedao que voc
usou. Desse modo, obteremos a medida do
comprimento 
<p>
da circunferncia que contorna
a latinha.  

 Chegou a sua vez!

<R+>
 a) Qual o comprimento do barbante que voc marcou? D a resposta em milmetros.
 b) Use a rgua para determinar a medida do dimetro da latinha. Que medida, em milmetros, voc encontrou?
 c) Se voc dividir o nmero que expressa o comprimento da circunferncia que contorna a latinha
pelo nmero que expressa a medida do dimetro, qual o nmero que voc vai encontrar
como resultado?

 Calculando o comprimento de uma circunferncia
<R->

  Suponha que um aro da roda de uma bicicleta possua o raio com comprimento
igual a *r*.
  Consideremos que seja possvel adaptar, perfeitamente, sobre esse aro um barbante
qualquer.
<314>
  Cortando esse barbante e esticando-o, obteremos o comprimento da circunferncia
desse aro.

<R+>
 _`[Foto: pessoa contornando o aro com um barbante_`]
 Legenda: Aro da bicicleta.

 _`[Foto: pessoa esticando o barbante_`]
 Legenda: Comprimento C da circunferncia do aro. 
<R->

  Se dividirmos o comprimento C de uma circunferncia pelo comprimento 2r do seu dimetro,
encontraremos uma aproximao do nmero irracional ^p (isso voc j aprendeu, e
ocorre sempre, qualquer que seja a circunferncia).

 C2r=^p :> C=2r^p :> C=2^pr

  Essa frmula permite calcular o comprimento de qualquer circunferncia, conhecido o
comprimento *r* do seu raio.
  Nos problemas que vamos resolver a seguir, consideraremos ^p=3,14.

<R+>
 1- Determinar o comprimento de uma circunferncia que tem 9 cm de raio.
 C=2^pr :> C=23,149 :> C=56,52
 Logo, o comprimento da circunferncia  56,52 cm.

 2- Qual  o comprimento *r* do raio de uma circunferncia que tem 18,84 cm de comprimento?
 C=2^pr
 18,84=23,14r
 6,28r=18,84
 r=18,846,28
 r=3
 Logo, o raio da circunferncia  3 cm.

<315>
 3- Qual  o comprimento x de um arco de 60 em uma circunferncia que tem 21 cm
de raio?
  Sabemos que a medida completa da circunferncia, em graus,  360. Portanto, para
resolver esse problema vamos usar uma regra de trs simples e direta:
 360 -- 2pr
 60 -- x
 Da:
 36060=2^prx
 61=?23,1421*x
 61=131,88x
 6x=131,88
 x=131,886
 x=21,98
 Logo, o comprimento do arco pedido  21,98 cm.
<R->

 O nmero pi na histria

  A descoberta do nmero pi  uma das grandes pginas da histria da Matemtica.
  Quando falamos na forma circular, pensamos no nmero irracional ^p (pi),
expresso na forma decimal por 3,1415692...

<p>
  Pi  valor da
razo entre a
circunferncia de
qualquer crculo e
seu dimetro.

  Arquimedes, na Grcia antiga, atribua a ^p um valor intermedirio entre
3#aj77 e 3#a7.  
  Os matemticos egpcios utilizavam o valor de 3,16 para o ^p, isso 1500
anos antes de Cristo!
  Sabe-se tambm que um matemtico chins, por volta de 480, chegou a
um valor intermedirio entre 3,1415926 e 3,1415927, resultado surpreendente
para a poca.
  Entre os matemticos rabes, destaca-se o clculo feito por al-Kashi, que,
por volta de 1430, escreveu o nmero ^p com 16 casas decimais.
  Na Europa, no perodo de 1600 a 1700, o ^p foi calculado com 30 casas decimais.
Atualmente, com os modernos computadores, podemos calcular o valor
de ^p com milhes de casas decimais.

<316>
<p>
 Exerccios

<R+>
 _`[{para os exerccios 5, 11, 14, e 16, pea orientao ao professor_`]

 1. Uma circunferncia tem 10,5 cm de
dimetro. Qual  o comprimento dessa circunferncia?
 2. A medida do raio de uma circunferncia
corresponde  medida da hipotenusa de um tringulo
retngulo de catetos 9 cm e 12 cm. Determine
o comprimento dessa circunferncia.

 3. O comprimento de uma circunferncia 
50,24 cm. Nessas condies, determine:
 a) o comprimento do raio dessa circunferncia. 
 b) as medidas dos lados de um quadrado, de
um hexgono regular e de um tringulo equiltero
inscritos nessa circunferncia.

<p>
 4. A medida do raio de uma circunferncia,
em centmetros, corresponde ao valor da raiz
positiva da equao x2-10x-24=
  =0. Calcule,
ento, o comprimento dessa circunferncia.
 5. Supondo que o quadrado A{b{c{d da figura _`[no adaptada_`]
tem 80 cm de lado, qual  o comprimento da
circunferncia inscrita nesse quadrado?
 6. Uma pista circular tem 25 m de raio. Quantos metros percorre 
uma pessoa que d 20 voltas em torno dessa pista?
 7. Ao percorrer uma distcia de 6.280 m, uma roda d 2.000 voltas
completas. Qual  o raio dessa roda?

 8. As rodas dianteiras de um trator tm 70 cm
de dimetro, e as traseiras tm o dobro da
medida desse dimetro. Considerando que
^p=3,14 e sabendo que esse trator percorreu
10.990 metros, quantas voltas deu:
<p>
 a) a roda dianteira? 
 b) a roda traseira?

 9. Sabendo que a roda de uma bicicleta tem
0,90 m de dimetro, responda:
 a) Qual  o comprimento da circunferncia dessa roda?
 b) Quantas voltas completas a roda d, em um percurso de 9.891 m?

 10. Se uma pessoa der 10 voltas completas
em torno de um jardim circular, ela percorrer
2.198 m. Quanto mede o dimetro desse
jardim?
 11. Deseja-se construir um oleoduto para ligar
duas cidades, A e B. Sabe-se que h duas
possibilidades de trajeto para esse oleoduto:
em linha reta ou em arco (formando uma semicircunferncia),
conforme a figura _`[no adaptada_`].
  Sabendo que o trajeto em linha reta tem o custo
de 2.700 reais por quilmetro, e o trajeto em
arco custa 1.600 reais por quilmetro, qual dos
dois trajetos  mais barato?
(Use: 2=
  =1,41 e ^p=3.)
<317>
 12. Uma moeda circular tem 3 cm de dimetro.
Essa moeda rola em linha reta por
489,84 cm. Fazendo ^p=3,14, quantas voltas
completas a moeda d nesse percurso?
 13. Qual  o comprimento x de um arco de 120,
numa circunferncia que tem 30 cm de raio?
 14. Em um jogo eletrnico, o personagem,
_`[no adaptado_`], tem a forma de uma regio
circular de raio 2 cm. A parte que falta no crculo
 a boca do personagem. Qual  o comprimento
do fio que contorna essa regio circular?
(Use: ^p=3,14.)
 15. Um arco de 30 tem 6,28 cm de comprimento,
em uma circunferncia de raio *r*. Qual 
o valor de *r*?
<p>
 16. Percorrendo uma estrada de 20 m de
largura, um veculo inicia um retorno em um
ponto A, utilizando a trajetria circular representada
pela figura _`[no adaptada_`], cujo raio  20 m. Quantos
metros o veculo percorreu no arco ^:?A{b*?
(Use: ^p=3.)
<R->

 Desafios!

  Todo domingo Carla passeia pelo parque com sua bicicleta.

 _`[{carla diz_`]
  "O dimetro do
pneu de minha
bicicleta  de
30 polegadas."

<R+>
 1. Sabendo que 1 polegada equivale, aproximadamente, a 2,54 cm, quantos centmetros tem uma
volta do pneu da bicicleta de Carla?
 2. No ltimo domingo, Carla andou 4 km com sua bicicleta. Quantas voltas, aproximadamente,
deu cada pneu?
 3. De casa ao clube, ida e volta, cada pneu d 2.000 voltas. A que distncia aproximada da casa de
Carla fica o clube?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<318>
 56 -- Relaes mtricas na 
  circunferncia
  
  A circunferncia tambm apresenta relaes mtricas entre seus elementos. Vejamos
essas relaes.

 Relao entre cordas

  Na circunferncia _`[no adaptada_`], destacamos duas cordas, ^c?A{b* e ^c?C{d*, que se cortam em certo
ponto P, distinto do centro O dessa circunferncia.
  Assim, ficam determinados dois segmentos de reta sobre cada uma dessas cordas.
Podemos, ento, estabelecer uma relao mtrica entre esses segmentos como veremos
a seguir.
  Considerando os tringulos A{p{c e D{p{b, temos:
<R+>
 o :?A{p{c*==:?D{p{b* (so ngulos o.p.v.)
 o :A==:D (so ngulos inscritos no mesmo arco)
<R->
  Como todo par de tringulos que tem dois ngulos internos, respectivamente congruentes,
so semelhantes, temos:

 tringulo A{p{c $?; 
  tringulo D{p{b

  E, portanto:

 P{aP{d=P{cP{b :> P{aP{b=
  =P{cP{d

<319>
 Relao entre segmentos secantes

  Na circunferncia _`[no adaptada_`], temos duas secantes traadas de um mesmo ponto exterior P.
  ^c?P{a*  um segmento de reta secante, e ^c?P{b*  a parte desse segmento externa  circunferncia.
  ^c?P{c*  um segmento de reta secante, e ^c?P{d*  a parte desse segmento externa  circunferncia.
  Entre esses quatro segmentos que acabamos de destacar podemos estabelecer mais
uma relao mtrica.
  Considerando tringulo P{a{d e trigulo P{c{b, temos:
<R+>
 o :P (ngulo comum)
 o :A==:C (so ngulos inscritos no mesmo arco)
<R->
  Assim, temos: tringulo P{a{d $?; tringulo P{c{b.
  E portanto:

 P{aP{c=P{dP{b :> P{aP{b=
  =P{cP{d

 Relao entre segmentos secante e 
  tangente

  Na circunferncia _`[no adaptada_`], temos dois segmentos, um segmento secante e um segmento
tangente, traados de um mesmo ponto externo P.
  ^c?P{a*  um segmento de reta secante, e ^c?P{b*  a parte desse segmento externa  circunferncia.
  ^c?P{c*  um segmento de reta tangente.
<320>
  Entre esses trs segmentos que acabamos de destacar tambm podemos estabelecer
uma relao mtrica, como veremos a seguir.
  
 _`[circunferncia no adaptada_`]

  Considerando os tringulos P{a{c e P{c{b, temos:
<R+>
 o :P=:P (ngulo comum)
 o :A==:C (so ngulos inscritos no mesmo arco)
<R->
  Assim, temos: tringulo P{a{c $?; tringulo P{c{b
  E, portanto:
 
 P{aP{c=P{cP{b :> P{c2=
  =P{aP{b

  Vamos resumir as trs relaes no quadro a seguir.

<R+>
 _`[As trs circunferncias contidas no quadro no foram adaptadas_`]
<R->

 P{aP{b=P{cP{d
 P{aP{b=P{cP{d
 P{c2=P{aP{b

<321>
  Observe os seguintes exemplos:

<R+>
 1- Determinar a medida x do segmento ^c?P{d*, sabendo que P{a=7 cm, P{b=4 cm e
P{c=2 cm.
 Pela relao das cordas, temos:
 P{aP{b=P{cP{d
 Pelos dados do problema, podemos escrever:
 74=2x
 28=2x
 2x=28
 x=282
 x=14
 Logo, a medida do segmento ^c?P{d*  14 cm.
<L>
 2- Calcular o comprimento *r* do raio da circunferncia, sendo dados P{a=20 cm e
P{c=10 cm.
 Pela relao entre segmentos secante e tangente, temos:
 P{a2=P{bP{c
 De acordo com os dados do problema:
 202=`(10+2r`)10
 400=100+20r
 20r=400-100
 20r=300
 r=30020
 r=15
 Logo, o comprimento do raio  15 cm.

 Exerccios

 _`[{para os exerccios de 1 a 4, pea orientao ao professor_`]

 1. Determine a medida x indicada em cada uma das figuras _`[no adaptadas_`].
<322>
<p>
 2. Determine, na figura _`[no adaptada_`], as medidas x e y indicadas.
 3. Determine a medida *r* do raio da circunferncia da figura _`[no adaptada_`].

 4. Na figura _`[no adaptada_`], P{a=3x, P{b=x+1, P{c=x e P{d=4x-1.
Nessas condies, determine:
 a) a medida x.
 b) o comprimento de cada uma das cordas.

 5. O raio de uma circunferncia  6 cm. De
um ponto P externo, traamos um segmento
tangente e um secante a essa circunferncia. O
segmento secante, que encontra a circunferncia 
nos pontos A e B, passa pelo centro e  tal
que a sua parte externa mede 8 cm. Determine
a medida do segmento tangente que foi traado
do ponto P.
<p>
 6. Uma corda ^c?A{b*, que mede 18 cm, corta uma
corda ^c?C{d* de tal forma que os segmentos determinados
sobre ^c?C{d* medem x e 2x cm, respectivamente.
Sabendo que a corda ^c?C{d* mede
12 cm, calcule as medidas dos segmentos determinados
sobre a corda ^c?A{b*.

 7. Por um ponto P, distante 18 cm do centro
de uma circunferncia, traa-se um segmento
secante que determina na circunferncia uma
corda ^c?A{b*, que mede 8 cm. Se o comprimento do
raio dessa circunferncia  12 cm, determine:
 a) o comprimento do segmento secante traado do ponto P.
 b) o comprimento da parte externa do segmento secante.

 8. De um ponto P, situado a 3 cm de uma circunferncia,
traa-se um segmento tangente ^c?P{c* cuja medida  9 cm. 
Nessas condies, determine
o comprimento do raio dessa circunferncia.
 9. Em uma circunferncia de centro O e
raio 6 cm, traa-se uma corda ^c?A{b*. Sobre essa
corda, toma-se um ponto M de tal forma que
A{m=5 cm e O{m=4 cm. Determine a medida
do segmento ^c?M{b*.

               ::::::::::::::::::::::::

 57 -- Polgonos regulares 
  inscritos na circunferncia
<R->

  Quando consideramos 3, 4, 5, 6,... pontos distintos sobre uma circunferncia, as cordas
consecutivas que ligam esses pontos determinam polgonos inscritos nessa circunferncia.  

<323>
  Quando dividimos uma circunferncia em *n* (com n>2) arcos congruentes, as cordas
consecutivas delimitam um polgono regular 
<p>
de *n* lados, inscrito nessa circunferncia.

  Veja alguns polgonos regulares inscritos na circunferncia:

  Ao traarmos dois dimetros
perpendiculares,
dividimos a circunferncia
em 4 arcos congruentes.
  As cordas consecutivas
^c?A{b*, ^c?B{c*, ^c?C{d* e ^c?D{a* delimitam
um quadrado inscrito
na circunferncia.

  Tomando-se o comprimento
do raio, marcamos
6 arcos congruentes
na circunferncia.
  As 6 cordas consecutivas
delimitam um hexgono
regular inscrito na
circunferncia.

  Tomando-se o comprimento
do raio, marcamos
6 arcos congruentes
na circunferncia.
  As 3 cordas consecutivas
^c?A{b*, ^c?B{c* e ^c?C{a* delimitam
um tringulo equiltero inscrito.

<R+>
 Elementos de um polgono regular inscrito
<R->

  Vamos conhecer os elementos de um polgono regular inscrito.

  Na figura _`[no adaptada_`], o raio de comprimento
*r* da circunferncia onde est inscrito o
polgono regular  tambm chamado raio
do polgono regular.
  O ngulo ^a, cujo vrtice est no centro da
circunferncia e cujos lados passam por
dois vrtices consecutivos do polgono
inscrito, chama-se ngulo central. Sua
medida  dada por 360n, sendo *n* o nmero
de lados do polgono inscrito. 
<324>
  Em um polgono regular, inscrito em uma
circunferncia, todos os ngulos internos
so congruentes e, se o polgono
tem *n* lados, a medida de cada um dos
lados  dada por ?`(n-2`)180*n.
  O segmento do centro O at o ponto mdio
M de um lado do polgono regular inscrito
chama-se aptema do polgono.
Sua medida , normalmente, representada
por *a*.  

  Como o tringulo A{o{b
 issceles, o aptema
^c?O{m* representa a altura
e a mediana relativas
ao lado ^c?A{b*.

 Propriedades

  Dois polgonos regulares que tm o mesmo nmero de lados so semelhantes, pois tm
os ngulos internos correspondentes congruentes e os lados homlogos proporcionais.
  Assim, podemos demonstrar as seguintes propriedades:

<R+>
 1 propriedade: Em dois polgonos regulares inscritos e com o mesmo nmero
de lados, os permetros so proporcionais aos comprimentos dos
respectivos raios.
 2 propriedade: Em dois polgonos regulares inscritos e com o mesmo nmero de
lados, os permetros so proporcionais s medidas dos respectivos
lados.
 3 propriedade: Em dois polgonos regulares inscritos e com o mesmo nmero de
lados, os permetros so proporcionais s medidas dos respectivos
aptemas.
<R->

  Vejamos, agora, alguns exemplos:

<R+>
 1- Determinar a medida do ngulo central e a medida do ngulo interno de um pentgono
regular inscrito.
 Indicando por ac a medida do ngulo central, temos:
 ac=360n=3605=72 
 Indicando por ai a medida do ngulo interno, temos:
 ai=?`(n-2`)180*n=?`(5-2`)
  180*5=?3180*5=
  =5405=108
 Logo, o ngulo central do pentgono regular inscrito mede 72, e o ngulo interno
mede 108. 

<325>
 2- Dois hexgonos regulares esto inscritos em circunferncias de raios 14 cm e 21 cm. Se o
permetro do hexgono inscrito na menor circunferncia  84 cm, determinar o permetro
do outro hexgono.
 Indicando o permetro desconhecido por x e aplicando a 1 propriedade, podemos escrever:
 1421=84x :> 14x=1.764 :> x=1.76414 :> x=126
 Logo, o permetro do outro hexgono  126 cm.

 Exerccios

 1. Determine a medida do ngulo central e a
medida do ngulo interno de cada um dos seguintes
polgonos regulares inscritos:
 a) tringulo equiltero. 
 b) quadrado.
 c) hexgono regular.
 d) octgono regular.

 2. O permetro de um polgono regular inscrito
em uma circunferncia, cujo raio mede x, 
60 cm. Sabe-se que um outro polgono regular
com o mesmo nmero de lados est inscrito em
uma circunferncia de raio 25 cm e tem 150 cm
de permetro. Quanto mede o comprimento x
do raio da primeira circunferncia?
 3. Os permetros de dois polgonos regulares
com o mesmo nmero de lados so 48 cm e
60 cm, respectivamente. Quanto mede o aptema
do segundo polgono, se o aptema do primeiro
mede 43 cm?
 4. Os permetros de dois polgonos regulares
com o mesmo nmero de lados esto entre si
como 2 est para 5. Sabendo que a medida do
lado do segundo polgono  202 cm, calcule a
medida do lado do primeiro polgono.
<p>
 5. Os permetros de dois polgonos regulares com
o mesmo nmero de lados so, respectivamente,
28,28 cm e 39,592 cm. Quanto medem o raio e o
aptema do primeiro, se o raio e o aptema do segundo
medem, respectivamente, 7 cm e 3,5 cm?
<R->

 Relaes mtricas

  Considerando a medida *l* do lado de um polgono regular inscrito, a medida *a* do aptema
do mesmo polgono e o comprimento *r* do raio da circunferncia onde esse polgono
est inscrito, podemos estabelecer algumas relaes mtricas.
  A seguir, estudaremos essas relaes mtricas apenas no quadrado, no hexgono regular
e no tringulo equiltero inscritos em uma circunferncia.

<p>
 Quadrado inscrito

  No quadrado inscrito _`[no adaptado_`], temos:
<R+>
 o l= medida do lado do quadrado.
 o a= medida do aptema do quadrado.
 o r= comprimento do raio.
 o medida do ngulo central =3604=90.
<R->

<325>
  Considerando o tringulo O{m{a da figura, temos:

<F->
        M  
        
         
          
   a        l2
            
             
              
 --------------u
O      r       A

_`[:M=90; :O=45_`]
<F+>

<p>
<R+>
 o sen.45=l2~r :> 22=
  =l2r :> 2=lr :> l=r2
 o cos.45=ar :> 22=ar :> 2a=r2 :> a=r22
<R->

  Acompanhe o exemplo a seguir.
  Um quadrado est inscrito em uma circunferncia de raio 24 cm. Nessas condies,
vamos determinar:
<R+>
 a) a medida do lado desse quadrado.
 l=r2 :> l=242 cm
 b) a medida do aptema desse quadrado.
 a=r22 :> a=2422 :> a=122 cm
 c) o permetro desse quadrado.
 Permetro =4l :> permetro =4`(242`) :> permetro =962 cm
 d) a rea S desse quadrado.
 S=l2 :> S=`(242`)2 :> S=1.152 cm2
<R->

<p>
 Hexgono regular inscrito

  No hexgono regular inscrito _`[no adaptado_`], temos:
<R+>
 o l= medida do lado do hexgono.
 o a= medida do aptema do hexgono.
 o r= comprimento do raio da circunferncia.
 o medida do ngulo central =3606=60.
<R->

  Considerando o tringulo retngulo O{m{a da figura, temos:

<p>
<F->
  O
  
  l   
  l 
  l  
  l    
a l     r 
  l     
  pcc    
  l_-_    
  v--#-----u 
 M  l2  A

_`[:M=90; :O=30_`]
<F+>

<R+>
 sen.30=l2~r :> 12=l2r :> 1=lr :> l=r
 cos.30=ar :> 32=ar 
  :> 2a=r3 :> a=r32
<R->

<326>
  Vamos determinar a medida do lado e a medida do aptema de um hexgono regular
inscrito em uma circunferncia de raio 30 cm.
<R+>
  Calculando a medida do lado:
 l=r :> l=30
 Calculando a medida do aptema:
 a=r32 :> a=3032 :> a=153
 Logo o lado desse hexgono mede 30 cm e o aptema, 153 cm.
<R->

 Tringulo equiltero inscrito

  No tringulo equiltero inscrito _`[no adaptado_`], temos:
<R+>
 o l= medida do lado do tringulo.
 o a= medida do aptema do tringulo.
 o r= comprimento do raio.
 o ngulo central =3603=120.
<R->

  Considerando o tringulo O{m{c da figura, temos:

<p>
<F->
 O
  r
  l ^
  l   ^ r
a l     ^ 
  l       ^ 
  pcc      ^
  l_-_        ^
  v--#----------"
 M     l2     C

_`[:O=60_`]
<F+>

<R+>
 o sen.60=l2~r :> 32=
  =l2r :> 3=lr :> l=r3
 o cos.60=ar :> 12=ar :> 2a=r :> a=r2
<R->

  Veja o exemplo a seguir.
  Um tringulo equiltero est inscrito em uma circunferncia de raio 603 cm. Vamos
determinar:
<p>
<R+>
 a) a medida do lado desse tringulo.
 l=r3 :> l=6033 :> l=180 cm
 b) a medida do aptema desse tringulo.
 a=r2 :> a=6032 :> a=303 cm
<R->

<328>
 Exerccios

<R+>
 _`[{para os exerccios 5, 9 e 11, pea orientao ao 
  professor_`]

 1. Uma circunferncia tem 40 cm de raio. Determine
a medida do lado dos seguintes polgonos
regulares inscritos nessa circunferncia:
 a) quadrado.
 b) hexgono regular.
 c) tringulo equiltero.

 2. Usando 2=1,41 e 3=1,73, determine
a medida do aptema dos seguintes polgonos
regulares inscritos em uma circunferncia que
tem 15 cm de raio:
 a) quadrado.
 b) hexgono regular.
 c) tringulo equiltero.

 3. Quais so o permetro e a rea de um quadrado
inscrito em uma circunferncia que tem
32 cm de raio?
 4. O aptema de um tringulo equiltero inscrito
em uma circunferncia de raio *r* mede
6,25 cm. Determine o valor de *r*.

 5. Observe o tringulo equiltero _`[no adaptado_`] inscrito:
  Determine:
 a) a medida do ngulo :R{o{s. 
 b) a medida do segmento R{s.
 c) a medida do segmento O{m.
 d) a medida do segmento S{m.

 6. Um quadrado, cujo lado mede 202 cm,
est inscrito em uma circunferncia de raio *r*.
Qual  a medida do aptema desse quadrado?

 7. Sabendo que o aptema de um tringulo
equiltero inscrito em uma circunferncia de
raio *r* mede 15 cm, determine:
 a) o comprimento do raio. 
 b) a medida do lado do tringulo, fazendo 3=1,73.

 8. Em uma circunferncia de raio *r* esto inscritos
um quadrado e um hexgono regular.
Considerando que o lado do hexgono mede
50 cm e fazendo 2=1,41, determine a medida
do lado do quadrado.
 9. Na figura _`[no adaptada_`], o raio
da circunferncia mede 3 cm,
o segmento ^c?A{b* representa o
lado de um hexgono regular
inscrito, e o segmento ^c?B{c* representa
o lado de um quadrado
inscrito.
  Nessas condies, determine:
 a) a medida do segmento ^c?A{b*. 
<p>
 b) a medida do segmento ^c?B{c*, considerando 2^=1,4.
 c) a distncia que se percorre indo de A at C,
passando por B.

 10. Em um tringulo retngulo, as medidas
dos catetos correspondem s medidas do lado e
do aptema de um tringulo equiltero inscrito
em uma circunferncia de raio 10 cm. Determine
a medida da hipotenusa desse tringulo
retngulo.

 11. A figura _`[no adaptada_`] nos mostra um
quadrado inscrito e um quadrado
circunscrito a uma circunferncia
de raio 4 cm.
Determine:
 a) a medida do lado do quadrado
inscrito. 
 b) a medida do lado do quadrado circunscrito.
<p>
 c) a razo entre a medida do lado do quadrado
inscrito e a medida do lado do quadrado circunscrito.

 12. Em uma circunferncia, cujo comprimento
 igual a 6^p cm, so traadas duas cordas,
^c?A{b* e ^c?C{d*, que no se cruzam. A corda ^c?A{b*
corresponde ao lado de um quadrado inscrito
nessa circunferncia, enquanto a corda ^c?C{d*
corresponde ao lado de um tringulo equiltero
inscrito nessa circunferncia. Fazendo
2=1,41 e 3=1,73, calcule a diferena entre
as medidas das cordas ^c?C{d* e ^c?A{b*.
<R->

<329>
 rea de um polgono regular

  Consideremos o seguinte pentgono regular _`[no adaptado_`]:
  A partir do centro, vamos decompor esse pentgono em cinco tringulos issceles e
congruentes. So eles: tringulo A{b{o, tringulo B{o{c, trigulo C{o{d, tringulo D{o{e, tringulo E{o{a.
  Em cada um desses tringulos, temos:
<R+>
 o a base do tringulo, que corresponde ao lado do polgono e cuja medida indicaremos por *l*.
 o a altura relativa  base do tringulo, que corresponde ao aptema do polgono e cuja medida
indicaremos por *a*.
<R->
  A rea de cada um desses cinco tringulos  dada por ?la*2.
  Como so cinco tringulos, a rea do polgono  dada por:

<R+>
 5?la*2, ou 5la2, ou ainda, 5l2a.
<R->

  Como 5l  o permetro do pentgono, ento 5l2 representa a metade do permetro ou
o semipermetro do pentgono.
  Assim:

<p>
<R+>
 rea do pentgono regular =5l2a
 5l2 -- semipermetro
 a -- medida do aptema
<R->

  Generalizando para todos os polgonos regulares, temos:

  rea do polgono regular = semipermetro  medida do aptema

<330>
 Exerccios

<R+>
 _`[{para os exerccios 1 e 4, pea orientao ao professor_`]

 1. A figura _`[no adaptada_`]  um pentgono regular
cujo lado mede 8 cm. Usando as razes trigonomtricas,
voc pode calcular a medida *a* do
aptema desse pentgono. Qual  a rea do
pentgono? `(sen.36=0,59; cos.36=0,81; tg.36=0,73`)
 2. Uma regio poligonal, em forma de hexgono
regular, foi recortada de uma folha de cartolina.
O lado do hexgono recortado mede 80
cm. Nessas condies, determine:
 a) o semipermetro desse hexgono.
 b) a medida *a* do aptema do hexgono, sabendo que a=l32.
 c) a rea da regio poligonal, considerando 3=1,73.

 3. Sabendo que um hexgono regular est
inscrito em uma circunferncia de raio 18 cm,
determine:
 a) a medida do lado desse hexgono. 
 b) o semipermetro desse hexgono.
 c) a medida do aptema desse hexgono.
 d) a rea desse hexgono.

 4. A figura _`[no adaptada_`]  um decgono regular onde ^c?O{a* mede 10 cm.
 a) Use as razes trigonomtricas e calcule a
medida *l* do lado e a medida *a* do aptema desse decgono. (sen.18=0,31; cos.18=0,95; tg.18=0,32)
 b) Calcule o semipermetro desse decgono.
 c) Determine a rea desse decgono.

               ::::::::::::::::::::::::

 58 -- rea de regies circulares
<R->

  Observe a sequncia de regies poligonais regulares inscritas em uma circunferncia _`[no adaptada_`]:
   medida que o nmero de lados aumenta, o polgono regular inscrito se aproxima do
crculo determinado pela circunferncia. Isso faz com que a rea desse polgono regular se
aproxime da rea do crculo.

<331>
  Assim:
<R+>
 o o permetro do polgono regular se aproxima do comprimento `(C=2^pr`) da circunferncia.
<p>
 o o semipermetro do polgono regular tende ao valor 2^pr2, ou seja, ^pr.
 o o aptema do polgono regular tende a ser o raio.
<R->

  Da:
  A rea do polgono regular tende a coincidir com a rea do crculo. Logo:  

<R+>
 rea do crculo =^prr ou rea do crculo =^pr2
 ^pr -- semipermetro
 r -- medida do aptema
<R->

  Usando a frmula da rea do crculo, vamos resolver as seguintes situaes:

<R+>
 1- Uma folha de papelo tem a forma circular de raio 21 cm. Qual , em cm2, a rea ocupada
por essa folha? (Usar: ^p=3,14.)
 rea =^pr2 :> rea =3,14
  `(21`)2
 rea =3,14441 :> rea =1.384,74
 A rea ocupada por essa folha  1.384,74 cm2.

 2- Qual  a rea desta figura _`[no adaptada_`]? (Usar: ^p=3,14.)
  Para resolver esse problema, devemos usar uma regra de trs:
 360 -- ^pr2 
 60 -- x 

 ou seja 

 360 -- 3,14`(5`)2
 60 -- x

 Da, temos a proporo:
 36060=78,5x :> 6x=78,5 :> x=78,56 :> x^=13,08
 Logo, a rea do setor , aproximadamente, 13,08 cm2.
<R->

<332>
<p>
 Geometria

<R+>
 Verificando a frmula da rea de um crculo

 _`[Para os exerccios I e II, pea orientao ao professor_`]

 I- Usando a rea de um tringulo retngulo
  Voc vai precisar de barbante, cola, papel e tesoura.
  Com esse material, faa o seguinte:
 a) Corte pedaos de barbante com medidas suficientes para cobrir os espaos entre as linhas da figura _`[no adaptada_`].
 b) Cole esses pedaos de barbante em um papel, do maior para o menor, de modo que fiquem esticados, um ao lado do outro,
e, ao final, assim dispostos, formem um tringulo retngulo.
 c) Verifique que a medida do cateto menor do tringulo formado  igual  medida *r* do raio do crculo. Observe tambm que o
cateto maior desse tringulo tem a mesma medida da circunferncia desse crculo, cujo comprimento  2^pr.
  Agora compare as reas do crculo e do tringulo retngulo _`[no adaptados_`]:
  Considerando que a mesma quantidade de barbante que cobre o crculo tambm cobre o tringulo retngulo, temos:

 rea do crculo = rea do tringulo retngulo
 rea do crculo =?2^prr*2=
  =^pr2

 II  Usando a rea de um retngulo
 a) Em uma cartolina, desenhe um crculo, dividindo-o em 16 partes iguais. Depois, recorte-o, separando cada pedao.
<333>
 b) Junte as partes recortadas encaixando-as conforme a figura _`[no adaptada_`].
  Faa o mesmo, dividindo o crculo em mais partes iguais. Note que quanto maior  o nmero de partes em que dividimos o
crculo, mais prxima de um retngulo fica a figura formada.
<R->

 Chegou a sua vez!

  Agora que voc j sabe, calcule a rea do retngulo, cuja base tem a metade do comprimento da
circunferncia, e a altura tem a medida do raio.

 Exerccios

<R+>
 _`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]

 1. Qual  a rea de um crculo cujo raio mede
62 cm?
 2. Um disco de cobre tem 80 cm de dimetro.
Determine a rea desse disco.
 3. Qual  a rea da regio circular limitada
por uma circunferncia onde est inscrito
um hexgono regular que tem 60 cm de permetro?

 4. Observe a figura _`[no adaptada_`]:
  Agora, responda:
 a) A que frao do crculo corresponde a regio colorida de azul?
 b) Qual  a rea da regio colorida de azul?

 5. A figura _`[no adaptada_`] nos mostra um crculo inscrito em
um quadrado, cujo permetro  48 cm. Determine
a rea desse crculo.
 6. Usando uma regra de trs, determine a rea
do setor circular roxo, representado na figura 
  _`[no adaptada_`].
 7. Em um restaurante, qual famlia come
mais pizza: aquela que pede uma pizza grande
de 44 cm de dimetro ou aquela que pede
duas pizzas mdias de 30 cm de dimetro cada
uma? (Use: ^p=3,14.)
<L>
<334>
 8. Os crculos da figura _`[no adaptada_`] so tangentes externamente.
A distncia entre os centros A e B 
13 cm. O raio do crculo maior tem 2x cm de
comprimento, enquanto o raio do crculo menor tem `(x2+3`) cm de comprimento. Determine:
  Nessas condies, determine:
 a) a rea do crculo de centro A.
 b) a rea do crculo de centro B.

 9. A figura _`[no adaptada_`] nos mostra duas circunferncias
concntricas, formando uma coroa
circular (regio colorida de azul). Determine a
rea dessa coroa circular.
 10. Determine a medida x indicada na figura _`[no adaptada_`] e a rea da regio colorida de amarelo.
 11. Uma rodovia circular, construda a 35 km
do centro de uma cidade, limita uma regio dessa
cidade. Nessa regio, a populao  de cerca
de 700.000 habitantes. Usando ^p=3 para os clculos,
determine a densidade demogrfica dessa
regio.
 12. O comprimento de uma circunferncia 
282,6 cm. Qual  a rea da regio limitada por
essa circunferncia? (Use: ^p=3,14.)
 13. Use as razes trigonomtricas no tringulo
retngulo para determinar as medidas x e
y indicadas na figura _`[no adaptada_`]. Em seguida, determine a
rea da regio verde. (Considere: 3=1,73.)
 14. Um salo de festas, de forma retangular,
tem 48 metros de comprimento por 28 metros
de largura. No centro desse salo h uma
pista de dana circular com 8 metros de raio.
Usando ^p=3,14, determine a rea, em m2, do
salo de festas que no  ocupada pela pista
de dana.
<p>
 15. Observe esta figura _`[no adaptada_`]:
  Determine a rea da figura, sabendo que:
 o A{b=32 cm 
 o A{c=12A{b
 o D{b=12A{c

 16. Um vazamento no tanque de um navio
provoca o aparecimento de uma mancha de
leo circular. O raio *r* da mancha, *t* minutos depois
do incio do vazamento,  dado, em metros,
pela frmula r=t5.
 a) Qual , em metros, o raio da mancha aps 4 minutos do incio do vazamento?
 b) Nesse momento, qual , em m2, a rea da mancha?
<R->

<335>
 Desafio!

  (ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumnio para tanques cilndricos a partir de
chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura _`[no adaptada_`]. Para 1 tampa grande, a empresa produz
4 tampas mdias e 16 tampas pequenas.
  As sobras do material da produo diria das tampas grandes, mdias e pequenas dessa empresa
so doadas, respectivamente, a trs entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material.
  A partir dessas informaes, pode-se concluir que:
<R+>
 a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
 b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
 c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
 d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.
<p>
 e) as trs entidades recebem iguais quantidades de material.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Brasil Real
 
 wr Histria
  Geografia
  Cidadania

  A Bandeira do Brasil foi instituda quatro dias aps a Proclamao da Repblica.

<R+>
 _`[{fotos de duas bandeiras_`]
 Legenda 1: Bandeira Imperial do Brasil
(1822-1889), vigente no perodo
do reinado de D. Pedro I e D. Pedro II.
 Legenda 2: Bandeira provisria da Repblica
(15 a 19 de novembro de 1889),
hasteada no Navio Alagoas,
embarcao que conduziu a famlia real
ao exlio, aps a Proclamao da Repblica.
<R->

  Depois das bandeiras representadas anteriormante, foi instituda a atual, que j conhecemos.
<336>
  As estrelas de nossa bandeira representam os Estados e o Distrito Federal brasileiros. Veja:
 1. Par
 2. Amazonas
 3. Mato Grosso do Sul
 4. Rondnia
 5. Mato Grosso
 6. Roraima
 7. Amap
 8. Tocantins
 9. Gois
 10. Bahia
 11. Minas Gerais
 12. Esprito Santo
 13. So Paulo
 14. Acre
 15. Piau
 16. Maranho
 17. Cear
 18. Rio Grande do Norte
 19. Paraba
 20. Pernambuco
 21. Alagoas
 22. Sergipe
 23. Santa Catarina
 24. Rio Grande do Sul
 25. Paran
 26. Rio de Janeiro
 27. Braslia

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 10 fev. 2009.

  A forma e o uso das bandeiras nacionais
geralmente seguem regras minuciosas e severas,
regulamentadas por lei. No caso da bandeira
brasileira, as suas dimenses, sua forma, suas
cores, enfim, toda a sua geometria, encontram-se 
definidas no artigo 5 da Lei 
 n. 5.700/1971.

  Para o clculo das dimenses da bandeira, toma-se 
por base a largura desejada, dividindo
esta em 14 partes iguais. Cada uma das partes
ser considerada uma medida ou mdulo. O
comprimento da bandeira ser de 20 mdulos,
e o raio do crculo azul dever ter 3,5 mdulos.

<R+>
 1. Deseja-se confeccionar uma bandeira do Brasil com 70 cm de largura. Determine a medida:
 a) do comprimento dessa bandeira. 
 b) do raio do crculo azul.
 c) da rea do crculo azul, usando ^p=3,14.

 2. (Unicamp-SP) O retngulo de uma bandeira do Brasil, cuja parte externa do losango  pintada
de verde, mede 2 m de comprimento por 1,40 m de largura. Os vrtices do losango, cuja
parte externa ao crculo  pintada de amarelo, distam 17 cm dos lados do retngulo, e o raio do
crculo mede 35 cm. Para calcular a rea do crculo use a frmula A=^pr2 e, para facilitar os
clculos, tome ^p como 227.
<p> 
 a) Qual  a rea da regio pintada de verde?
 b) Qual  a porcentagem da rea da regio pintada de amarelo, em relao  rea total da bandeira? D sua resposta com duas casas decimais depois da vrgula.

 3. Considerando a bandeira da questo 2, quanto vale a rea do crculo?
 4. Pesquise e responda em seu caderno: nas bandeiras de quais estados brasileiros aparecem crculos?
 5. Pesquise sobre a bandeira do estado onde voc nasceu e liste as figuras geomtricas que
aparecem nela. Pesquise tambm sobre critrios envolvidos na seleo e nas medidas dessas
figuras e sobre os significados 
<p>
  atribudos s figuras ou ao conjunto.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<337>
 Tratando a informao

 wr Geografia
  Agricultura

  Do total de gros produzidos no Brasil, em 2006, a soja e o milho foram responsveis, respectivamente,
por aproximadamente 44% e 36% da produo, conforme mostra o grfico a seguir.

<R+>
 _`[Grfico adaptado_`]
  Distribuio percentual da produo brasileira de cereais,
leguminosas e oleaginosas (2006)  
 soja 44%
 milho 36%
 arroz 10%
 feijo 3%
<p>
 trigo 2%
 demais produtos 5%

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 13 set. 2007.  

 Chegou a sua vez!

 1. Do que trata o grfico?
 2. Qual  o tipo desse grfico?
 3. Das culturas que apresentaram ganhos de produo em 2006, a soja foi o grande destaque.
Sabendo que, nesse ano, a soja teve safra de 52.464.640 toneladas, determine a produo total aproximada
de cereais, leguminosas e oleaginosas no ano de 2006?
 4. Lembrando que a medida do ngulo central correspondente ao crculo todo  360, qual  a
medida aproximada do ngulo central de cada setor do grfico?
 5. Supondo que o raio do crculo do grfico seja 5 cm, determine a rea do setor correspondente 
soja, ao milho e ao arroz. (Considere: ^p=3,14.)

<338>
 Retomando o que aprendeu

 _`[Para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Responda s questes em seu caderno.
<R+>
 1. Duas cordas, ^c?A{b* e ^c?C{d*, de uma circunferncia
cortam-se em um ponto P, de tal forma que
^c?P{a* mede 9 cm, e ^c?P{b* mede 4 cm. Sabendo que a
corda ^c?C{d* mede 15 cm, qual a medida do maior
segmento que o ponto P determina sobre essa
corda?
 a) 3 cm 
 b) 8 cm 
 c) 9 cm
 d) 12 cm 
 e) 10 cm 

 2. Na figura _`[no adaptada_`], o segmento ^c?A{b* corresponde
ao lado de um hexgono regular, enquanto
o segmento ^c?B{c* corresponde ao lado de
um quadrado. Considerando 2=1,41, qual 
a distncia que se percorre indo de A at C, passando
por B?
 a) 24,1 cm 
 b) 24,3 cm 
 c) 24,7 cm
 d) 25,1 cm
 e) 25,5 cm

 3. (Saresp) A figura _`[no adaptada_`] representa um hexgono
inscrito numa circunferncia cujo raio
mede 8 cm.
  Considerando 3=1,7, o lado e o aptema
desse hexgono medem, respectivamente:
 a) 8 cm e 6,8 cm. 
 b) 8 cm e 13,6 cm.
 c) 5,8 cm e 8 cm.
 d) 4 cm e 6,8 cm.

 4. Na figura _`[no adaptada_`], os segmentos ^c?P{a*, ^c?A{b* e o raio da
circunferncia tm a mesma medida x. Sabendo
que P{c=2 cm, determine o valor de x, considerando
3=1,73.
 a) 1,73 cm 
 b) 2,73 cm 
 c) 3,73 cm
 d) 4,73 cm
 e) 0,73 cm

 5. (Saresp) Tenho um pedao de papel de seda
de forma circular cujo raio mede 20 cm.
  Quero fazer uma pipa quadrada, do maior tamanho
possvel, com esse pedao de papel de
seda. Fazendo 2=1,4, quanto medir o lado
desse quadrado?
 a) 56 cm 
 b) 35 cm 
 c) 28 cm 
 d) 14 cm

 6. (Saresp) O aptema e o lado de um hexgono
regular inscrito numa circunferncia de raio
igual a 43 cm so, respectivamente:
 a) 4 cm e 43 cm.
 b) 43 cm e 4 cm.
 c) 6 cm e 6 cm.
 d) 6 cm e 43 cm.
<L>
<339>
 7. Quando um ponto est situado a 8 cm de
uma circunferncia de raio 5 cm, quanto deve
medir o segmento da tangente compreendido
entre esse ponto e o ponto de tangncia?
 a) 10 cm 
 b) 12 cm 
 c) 14 cm
 d) 15 cm
 e) 16 cm

 8. Na figura _`[no adaptada_`], o tringulo equiltero A{b{c est
inscrito na circunferncia de centro O.
  Sendo P e Q pontos dessa circunferncia, tal que
P{q=4 cm, o permetro do tringulo A{b{c :
 a) 36 cm 
 b) 66 cm 
 c) 12 cm
 d) 122 cm
 e) 123 cm

 9. Sabe-se que o dimetro dos pneus das rodas
de um carro  50 cm. Ao percorrer uma distncia
de 78,5 metros, quantas voltas completas
foram dadas pelas rodas desse carro?
 a) 100 
 b) 80 
 c) 60 
 d) 50
 e) 45

 10. O mostrador de um relgio  circular, e o
ponteiro maior mede 1,5 cm. Qual  a distncia
percorrida pela extremidade desse ponteiro
das 12 horas at as 17 horas?
 a) 47 cm 
 b) 47,10 cm 
 c) 47,15 cm
 d) 47,20 cm
 e) 47,25 cm

 11. Qual  a medida de uma correia acoplada
a duas rodas iguais de 10 cm de raio, e cu-
<p>
  jos centros esto a 50 cm de distncia um do outro?
 a) 160 cm 
 b) 161,8 cm 
 c) 162,8 cm
 d) 165 cm
 e) 165,8 cm

 12. Duas circunferncias, cujos raios so expressos
por `(2x+1`) m e `(x-3`) m, so tangentes
externamente, conforme nos mostra a figura _`[no adaptada_`].
  Sabe-se que a distncia entre os centros A e B
das circunferncias  19 m. Nessas condies,
quem sai do ponto P, percorre o contorno das
duas circunferncias e retorna ao ponto P, percorre
quantos metros?
 a) 121 
 b) 120,32 
 c) 120
 d) 119,52
 e) 119,32

<340>
<p>
 13. Um segmento ^c?O{a* descreve um arco de
30 em torno do ponto O, como indica a figura _`[no adaptada_`].
  Se a medida do segmento ^c?O{a*  5 cm, e adotando
^p=3, qual  a distncia percorrida pelo ponto A?
 a) 2,5 
 b) 5,5 
 c) 1,7 
 d) 3,4
 e) 4,5

 14. Observando a figura _`[no adaptada_`], na qual
A{b{c{d  um quadrado, determine a distncia
percorrida por uma pessoa que sai do vrtice A
e percorre os contornos dos semicrculos, retornando
ao ponto A.
 a) 36 unidades de comprimento.
 b) 37 unidades de comprimento.
 c) 37,68 unidades de comprimento.
 d) 38,68 unidades de comprimento.
<p>
 e) 39,68 unidades de comprimento.

 15. Uma pessoa que sai do ponto A e vai
at o ponto B, seguindo o arco ^:?A{b*, conforme
o esquema _`[no adaptado_`], percorre que distncia? (Considere ^p=3.)
 a) 600 m 
 b) 630 m 
 c) 700 m 
 d) 720 m
 e) 750 m

 16. Para ir de um ponto A a um ponto B localizados
nas margens de um lago circular de
raio 30 m, Joo tem, como mostra a figura _`[no adaptada_`], dois
possveis caminhos a percorrer:
 o caminho 1, pelo qual ele pode contornar o
lago passando pelo ponto E;
 o caminho 2, pelo qual ele pode contornar
o lago at o ponto C, depois atravessar o lago
por uma ponte reta at o ponto D e, finalmente,
contornar o lago at o ponto B.
  Sabendo que os pontos A e B so extremidades
do dimetro desse lago e considerando os
ngulos indicados na figura, podemos afirmar
que:
 a) o caminho 1  5,9 m mais curto que o caminho 2.
 b) o caminho 1  5,1 m mais curto que o caminho 2.
 c) o caminho 2  5,9 m mais curto que o caminho 1.
 d) o caminho 2  5,1 m mais curto que o caminho 1.
 e) os dois caminhos tm a mesma distncia. (Use: 2=1,4.)

 17. A diviso do nmero 0,5 por x tem o mesmo
resultado que a adio do nmero 0,5 com
x. Sendo x um nmero real positivo e considerando
^p=3,14, qual  a rea do crculo, cujo
raio mede x cm?
 a) 0,685 cm2 
 b) 0,785 cm2 
 c) 0,885 cm2
 d) 0,875 cm2
 e) 0,578 cm2

<341>
 18. (Saresp) Cortando-se um cilindro na linha
tracejada indicada na figura _`[no adaptada_`], obtm-se sua
planificao. Veja:
  Se o raio de cada base mede 5 cm, e o cilindro
tem 10 cm de altura, qual  a rea total de sua
superfcie? (Use: ^p=3,1.)
 a) 465 cm2 
 b) 425 cm2 
 c) 310 cm2
 d) 133 cm2

 19. Observe esta figura _`[no adaptada_`]:
  A rea dessa figura, em centmetros quadrados, :
 a) 11 
 b) 11,04 
 c) 11,14
<p>
 d) 11,24
 e) 12,14

 20. O desenho _`[no adaptado_`] representa uma praa circular
de 60 m de dimetro. Os jardins esto representados
pelas regies pintadas de amarelo, que
so setores circulares, cujo ngulo central  30.
Qual  a rea ocupada pelos jardins?
 a) 900 m2 
 b) 920 m2 
 c) 940 m2
 d) 942 m2
 e) 950 m2

 21. (Saresp) Uma circunferncia de 10 cm de
raio circunscreve um tringulo A{b{c equiltero.
(Use: 3=1,7.)
  A rea desse tringulo  de:
 a) 255 cm2 
 b) 216,75 cm2 
 c) 105,5 cm2 
 d) 127,5 cm2

<p>
 22. Na figura _`[no adaptada_`], A{b=6 cm e A{c=8 cm. Sabendo
que ^c?B{c*  o dimetro do crculo, qual  a rea
da regio colorida de roxo?
 a) 63 cm2 
 b) 63,25 cm2 
 c) 63,50 cm2
 d) 63,75 cm2
 e) 64,25 cm2

 23. O tringulo equiltero A{b{c da figura _`[no adaptada_`]
est inscrito numa circunferncia de centro O e raio 23 m.
  Qual a rea da parte sombreada dessa figura?
(Use 3=1,7 e ^p=3,1.)
 a) 3,3 m2 
 b) 6,6 m2 
 c) 7,3 m2 
 d) 8,4 m2
 e) 16,9 m2

               oooooooooooo

<342>
<p>
 Projeto: Investigando alturas

 Como medir a altura de coisas muito altas? 

 _`[{foto: Pico do Monte 
  Everest_`]
 Legenda: O ponto mais alto do
mundo  o pico do
Monte 
  Everest,
no Himalaia, fronteira
entre o Nepal e o
Tibete. O pico mais
alto do monte 
  Everest
est a 8.848 metros
acima do nvel do mar.

 _`[{foto: Pico da Neblina_`]
 Legenda: No Brasil, o pico mais
alto  o da Neblina.
Fica na serra Imeri,
norte do 
  Amazonas,
perto da fronteira
com a Venezuela, e
sua altitude (altura
em relao ao nvel
do mar)  de 3.014
metros. 

<p>
 Os modernos equipamentos de 
  medio
<R->

  Hoje em dia  possvel fazer medies cada vez mais precisas,
graas aos modernos equipamentos de medio e ao desenvolvimento
de sistemas de posicionamento, como o GPS  do ingls
*Global 
 Positioning System* , que  baseado em satlites.
  O GPS foi desenvolvido pelo Departamento de Defesa dos 
 Estados
Unidos e consiste num conjunto de 24 satlites artificiais em
rbita, a uma distncia de 16.900 km da superfcie terrestre. Esses
satlites emitem sinais que so captados por receptores GPS, alguns
do tamanho da palma da mo, e convertidos em dados como posio,
velocidade e tempo.

<R+>
 _`[Foto: Uma pessoa segurando um aparelho de GPS_`]
<R->

  E voc? J teve curiosidade de saber qual  a altura de determinado prdio? Consegue imaginar
quanto mede certa torre ou determinado monumento de sua cidade?
  Neste Projeto, voc ter oportunidade de descobrir como medir a altura dessas estruturas com
um instrumento muito simples, que voc mesmo ir fazer.
  O Projeto Investigando alturas tem quatro etapas:
<R+>
 o Na primeira, voc e seu grupo fazem uma pesquisa de campo, observando prdios, monumentos
ou torres, escolhem as estruturas que gostariam de medir e fazem estimativas para as alturas
dessas estruturas.
 o Na segunda etapa, vocs leem o texto informativo, no qual conhecero um pouco sobre duas maneiras
diferentes de medir alturas e, tambm, como construir um instrumento simples de medio.
 o A terceira etapa do projeto  a prpria medio, momento em que vocs devero calcular as
alturas das estruturas selecionadas e comparar com as estimativas feitas.
 o Na ltima etapa, a turma far uma maquete, para sintetizar as descobertas e aplicar os procedimentos
utilizados para medir as alturas.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<343>
 1 -- Pesquisa de campo

 1 Etapa

  Em grupo ou em dupla, percorram o seu
bairro ou outra regio da cidade investigando
estruturas como prdios, torres etc.
  Nesta etapa, vocs devero selecionar trs
estruturas a serem medidas.
  Para cada estrutura selecionada, faam
anotaes utilizando um formulrio como este:

<p>
<R+>
 Investigando alturas

 Grupo: ...
 Ano: ... 
 Componentes: ...
 Data: ...
 Bairro investigado: ...
 Estrutura observada (prdio, torre, poste etc): ...
 Altura estimada: ...
 Desenho: (reserve um espao para o desenho da estrutura escolhida)
 Clculo: (reserve um espao para os clculos)
 Altura calculada: ...
<R->

  Exponham ao professor suas escolhas e expliquem como estimaram as alturas. Esse
formulrio dever ser guardado para utilizao na 3 etapa deste projeto.

               ::::::::::::::::::::::::

<p>
 2 -- Textos informativos

 2 Etapa

  Atualmente as medies so feitas com equipamentos bem modernos. Mas
um longo trajeto foi percorrido pela humanidade at chegar a esse ponto.
  Vamos relembrar um pouco dessa trajetria com a leitura dos textos a seguir.

<344>
 O desafio da pirmide 

 wr Histria

  Como j vimos, o filsofo e matemtico grego Tales de Mileto foi desafiado a medir a altura da grande pirmide de Quops.
  A soluo de Tales surpreendeu os egpcios. Ele fincou um basto perpendicularmente ao cho e mediu, com passos, o comprimento
da sombra desse basto. Em seguida, mediu o comprimento da sombra da pirmide. Sua ideia era calcular a altura
da pirmide com base na proporo entre as sombras.
  Matematicamente, dizemos: a razo entre a altura da pirmide e a soma dos comprimentos da sombra projetada e da metade
da medida da aresta da base  igual  razo entre a altura do basto e o comprimento da sombra projetada por esse basto.
  Assim:

 H?B+S*=cb

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 Um dos mais antigos instrumentos cientficos
<R->

  Astrolbio  um antigo instrumento usado, na Idade Mdia, para medir a altura
dos astros acima do horizonte. O nome astrolbio vem do grego e significa algo
como pegador de estrelas. Sua inveno  atribuda ao grego Hiparco.
  Dentre os vrios tipos de astrolbio que existiam, destacaram-se trs como os
mais importantes: o esfrico, o planisfrico e o nutico.
  O astrolbio nutico, em sua forma primitiva, era composto por uma pea circular
de madeira, suspensa por um anel, dividida em graus, em cujo centro girava
uma rgua.
<345>
  No final da Idade Mdia, o astrolbio foi aperfeioado, recebendo tabelas da declinao do Sol no horizonte. Essas tabelas
permitiam aos navegadores determinar sua posio nos oceanos.

 Chegou a sua vez!

  Vamos construir um astrolbio?
  Esse  um instrumento fcil de construir e bastante til na medio de alturas inacessveis.
  Voc vai precisar de:
<R+>
 o um transferidor de 180.
 o um canudinho de refresco.
<R->
  Para constru-lo basta fixar com um pino uma das extremidades do canudinho no centro do transferidor. Desse modo, o
canudinho poder girar em torno desse pino, percorrendo livremente a parte graduada e permitindo que voc faa a leitura dos
ngulos de elevao.

               ::::::::::::::::::::::::

<346>
 3 -- Medio

 3 Etapa

  Nesta etapa, usando o seu astrolbio, voc vai calcular as alturas das estruturas
selecionadas e comparar as medidas encontradas com as estimativas
que voc fez na 1 etapa.
  Inicialmente, posicione-se a uma distncia *d* da estrutura que deseja medir (um prdio,
por exemplo).
  Com o auxlio do astrolbio que construiu, voc vai determinar o ngulo de elevao
desse prdio. Nesse caso, primeiro direcione a linha de f do transferidor horizontalmente
para um ponto do prdio. Depois, mantendo o instrumento fixo nessa posio, gire o canudinho,
apontando-o para o alto do prdio, e observe a medida ^a indicada na escala do
transferidor.
  Suponha que a altura do astrolbio em relao ao solo  *h*.
  Com os valores *h*, *d* e *^a*,  possvel determinar a altura H do prdio.
  O modelo matemtico fica assim:

<p>
<F->
                *@aapaa 
              *a _  l
            *a   _  l 
          *a     _  l
        *a       _  lH  
      *a      pcc  l
    *a^a      l_-_  l       
  }u----------v--#  l           
h l      d       _  l 
ccccccccccccccccccccccc
<F+>

  No tringulo retngulo, temos: tg.^a=?H-h*d
  Da, vem: H=h+dtg.^a
  Com o auxlio de uma calculadora cientfica ou de uma tabela trigonomtrica, para um
dado valor de ^a,  possvel encontrar tg.^a.
  Substituindo os valores de *h*, *d* e tg.^a na igualdade anterior, obtm-se H.

<347>
<p>
 Chegou a sua vez!

<R+>
 _`[{para as atividades a seguir, pea orientao ao professor_`]

 1. Faa um desenho, com legendas explicativas, para representar a medio realizada por Tales de Mileto.
 2. Determine, na escola ou em casa, a altura de uma parede, de um poste ou de uma rvore, com o auxlio das sombras. Faa um desenho com legendas para mostrar suas concluses.
 3. Como voc mediria a altura de uma rvore em um dia nublado?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

 4 -- Construo de maquetes

 4 Etapa

  Na 3 etapa deste projeto, vocs mediram a altura de um prdio, de uma
torre ou de um monumento.
  Agora, cada grupo deve construir uma maquete, reproduzindo, do modo mais fiel possvel,
as estruturas envolvidas nas medies da terceira etapa.
  Vocs podem usar isopor, madeira, cartolina ou outros materiais para fazer a representao
dessas estruturas na maquete, desde que a proporo entre as medidas reais e as
medidas das representaes dessas estruturas na maquete seja mantida.
  Usem etiquetas para identificar o nome e altura real de cada estrutura representada na
maquete, bem como as medidas dos ngulos e a escala que utilizaram para reproduzi-la.
  As maquetes podero ficar 
<p>
expostas na escola, para visitao.
<348>
  Veja as sugestes:

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               oooooooooooo

<349>
<p>
 Indicaes de leitura

 _`[{um homem diz_`]
  "Os livros indicados a seguir so
especiais. Alm de divertidos, cheios
de aventura e desafios, tambm so
timos para a formao matemtica.
So livros escritos especialmente
para voc perceber que a matemtica
est em todos os momentos
interessantes da vida."

  Sugerimos inicialmente o livro *O bibliotecrio que mediu a Terra*, escrito por Kathryn
Lasky, pela Editora Salamandra, que conta a histria do homem que conseguiu medir a Terra.
E no pense que ele usou computadores, satlites ou quaisquer mtodos modernos.

  O autor Egidio Trambaiolli Neto escreveu a srie *O 
 contador de histrias da 
 Matemtica*, publicado pela Editora FTD. Se voc gosta
de mistrio e enigmas, essa srie tem dois ttulos bem interessantes:
  Em *Os peregrinos*, um grupo de adolescentes precisa resolver um grande
desafio: evitar um cataclisma, que ameaa extinguir toda a vida terrestre.
  Em *A misso*, um grupo de jovens procura evitar que um homem sem
escrpulos e sua mquina do tempo altere o passado, colocando em
risco a existncia de milhes de pessoas.

  E se voc ainda tem dvida sobre a finalidade da Matemtica, *Pra que serve
Matemtica?*  uma srie que vem bem a calhar. Indicamos o volume
*Equao do 2 grau*, escrito pelos matemticos Imenes, Jakubo e Lellis, e
publicado pela Atual Editora.

  E, para finalizar, veja mais alguns ttulos de livros que vale a pena voc dar uma lida:
  Em *As mil e uma equaes*, de Ernesto Rosa Neto, publicado pela Editora tica,
trs amigos se perdem no deserto e so salvos pela caravana de um emir. Levados para
a cidade, assistem a um torneio entre dois pretendentes da princesa Nria. O grupo de
amigos descobre uma conspirao.
  Do mesmo autor e editora, *Geometria na Amaznia* conta a aventura de Wander,
Isabela e Andr, que enfrentam situaes perigosas na Floresta Amaznica.
  *A histria da equao do 2 grau*  contada por Oscar Guelli, na coleo *Contando
a Histria da Matemtica*, da 
 Editora tica.

  Boa leitura!

               oooooooooooo

<350>
<p>
 Glossrio

 -- A 
<R+>
 Aptema de um polgono regular 
<R->
  Segmento que vai do centro O at o ponto mdio M de um
dos lados do polgono.  

 ^c?O{m* :> aptema do tringulo 
  equiltero

 rea 
  Medida de uma superfcie.

 -- B
 Bhaskara 
  O mais importante matemtico hindu
(sculo XII). Em seu tratado mais conhecido,
 *Lilavati*, apresentou numerosos problemas
envolvendo equaes do 1 e do 2 grau.

 Bissetriz 
  Semirreta que tem origem no vrtice
de um ngulo e o divide em dois ngulos
congruentes. Veja a figura _`[no adaptada_`] que representa a
construo da bissetriz de um ngulo, com
rgua e compasso:

 -- C
 Cateto 
  Em um tringulo retngulo,  qualquer
um dos lados que formam o ngulo reto.

 Circunferncia 
  Curva plana e fechada na
qual todos os pontos so equidistantes de um
mesmo ponto fixo chamado centro.

 Corda 
  Segmento com as extremidades em
uma circunferncia.

 Cosseno de um ngulo agudo 
  Em um tringulo retngulo,  a razo entre a medida do
cateto adjacente a esse ngulo e a medida da
hipotenusa.

<p>
 -- D
 Descartes 
  Ren Descartes (1596-1650),
filsofo e matemtico francs, um dos criadores
da Geometria Analtica.

 -- E
 Equao biquadrada 
  Toda equao da forma
ax4+bx2+c=0, em que *a*, *b* e *c* so nmeros
reais e a=0.

 Equao do 2 grau 
  Toda equao da forma
ax2+bx+c=0, em que *a*, *b* e *c* so nmeros
reais e a=0.

 Equao irracional 
  Toda equao que
apresenta incgnita no radicando.

 Estatstica 
  Conjunto de mtodos utilizados
para a obteno de dados, organizao dos
dados obtidos em tabelas e grficos e anlise
desses dados.

 -- F
 Feixe de retas paralelas
  Trs ou mais retas
paralelas entre si.

 Figuras semelhantes 
  Figuras que tm a
mesma forma.

<351>
 Funo 
  Relao que envolve duas grandezas,
sendo que o valor de uma delas depende, sob
determinadas condies, do valor da outra.
Formalmente,  uma relao especial entre
dois conjuntos A e B, de modo que:
<R+>
 o todos os elementos de A esto associados
a um elemento de B.
 o cada elemento de A est associado a um
nico elemento de B.
<R->

 y=x2

 Funo polinominal do 1 grau 
  Funo do tipo y=ax+b, com a,_r, b,_r e a=0.
  Veja o grfico da funo do 1 
<p>
grau _`[no adaptado_`] dada por y=-x+3:

<R+>
 Funo polinominal do 2 grau ou funo quadrtica 
<R->
  Funo do tipo y=ax2+bx+c,
com *a*, *b* e *c* nmeros reais e a=0. Veja o
grfico da funo quadrtica y=x2+2x-3 _`[no adaptado_`]:

 -- G
 Grfico 
  Representao visual de certas
situaes que, em geral, envolvem dados
numricos relacionando duas grandezas.

 Grfico cartesiano 
  Tipo de grfico usado
para representar funes, utilizando o sistema
cartesiano.

<352>
 Grfico de barras 
  Tipo de grfico em que os valores
so representados por retngulos verticais.

 Grfico de linhas 
  Tipo de grfico em que os
valores so representados por linhas formadas
por segmentos de reta.

 Grfico de setores 
  Tipo de grfico em que
os valores percentuais so representados por
partes de um crculo.

 -- H
 Hipotenusa 
  Em um tringulo retngulo,  o
lado que se ope ao ngulo reto.

 -- L
 Lei dos cossenos 
  No tringulo A{b{c, qualquer
uma das relaes:
 a2=b2+c2-2bccos.:A
 b2=a2+c2-2accos.:B
 c2=a2+b2-2abcos.:C

 Lei dos senos 
  Em um tringulo A{b{c, a relao:

 asen.:A=bsen.:B=csen.:C
<L>
 -- M
 Mdia aritmtica 
  A mdia aritmtica de *n*
nmeros  a soma desses nmeros dividida
por *n*.

 Mdia aritmtica ponderada 
  Mdia aritmtica
em que os nmeros tm determinados
pesos.

 -- P
 Par ordenado 
  Par de nmeros no qual se
convenciona uma ordem para serem escritos.

<353>
 Parbola 
  Curva plana que representa o grfico
cartesiano de uma funo polinominal do
2 grau.

 Plano cartesiano 
  Plano cujos pontos so
localizados por meio de um sistema de
coordenadas cartesianas.

<p>
 Polgono 
  Figura geomtrica plana cujo contorno
 formado por segmentos de reta.

<R+>
 Polgono inscrito em uma circunferncia
<R->
  Polgonos cujos vrtices so pontos de uma
circunferncia.

 Polgono regular 
  Polgono que possui todos os
lados e todos os ngulos internos congruentes
entre si.

 Potncia 
  Produto de fatores iguais.

 Proporo 
  Igualdade entre duas razes.

 -- R
<R+>
 Racionalizao de denominadores 
<R->
  Transformao
que torna racional o denominador irracional
de uma frao, sem alter-la.

<p>
 Radical 
  Nome do sinal utilizado para escrever
as razes ensimas de um nmero.

  para a raiz quadrada
 n para a raiz ensima

 Raio de um polgono regular 
  Raio da
circunferncia na qual est inscrito o polgono.

 Raiz 
  A raiz quadrada de 9  3, porque 32=9.
  A raiz ensima de um nmero real positivo *a*  o
nmero positivo b=na, tal que bn=a.

<354>
 Razo 
  Razo de dois nmeros *a* e *b*, com
b=0,  o quociente do primeiro pelo segundo.
  Indica-se ab.
 
<p>
<R+>
 Reta secante a uma circunferncia 
<R->
  Reta
que possui dois pontos distintos comuns com
a circunferncia.

<R+>
 Reta tangente a uma 
  circunferncia 
<R->
  Reta que possui um nico ponto comum com a
circunferncia.

 Reta transversal 
  Reta que corta um feixe de retas paralelas.

 -- S
 Seno de um ngulo agudo 
  Em um tringulo
retngulo,  a razo entre a medida do
cateto oposto a esse ngulo e a medida da
hipotenusa.

 -- T
 Tales de Mileto 
  Filsofo e matemtico grego,
viveu no sculo VI a.C. e comeou a vida
como mercador.  o primeiro personagem
conhecido a 
<p>
quem se associam descobertas
matemticas.

 Tangente de um ngulo agudo 
  Em um
tringulo retngulo,  a razo entre a medida
do cateto oposto a esse ngulo e a medida do
cateto adjacente.

 Tringulo retngulo 
  Tringulo que possui um
ngulo interno reto.

 -- Z
 Zero de uma funo 
  Para uma funo y=f`(x`),
 o valor do nmero real x, tal que y=0.
  Graficamente, o zero de uma funo representa
a abscissa do ponto no qual o grfico corta o
eixo x. 

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Oitava Parte